الشروط الضرورية والكافية

آخر الأشياء التي يتم فهمها بشكل غير صحيح في الرياضيات هي الفرق الحاسم بين شرط ضروري وشرط كاف. من المثير للاهتمام أن يكون هناك صلة بين اثنتين من العبارات ولكن القول بأي عبارة ينطوي على الأخرى مهم بقدر الأهمية.

التعريف

إذا كانت حقيقة P تعني حقيقة Q، فإننا نقول أن P شرط كاف لصحة Q. في الواقع، P يكفي أن يكون حقيقيًا حتى تكون Q حقيقية. إذا كان علينا إثبات أن Q حقيقية، فإنه يكفي أن نثبت أن P حقيقية. نكتب ذلك على شكل $P \Rightarrow Q$ أو $Q \Leftarrow P$.

نلاحظ أيضًا أنه من الضروري أن تكون Q حقيقية حتى تكون P حقيقية. في الواقع، إذا كانت P حقيقية، فنحن نعلم أن Q أيضًا حقيقية، وبالتالي لا يمكن أن تكون P حقيقية إذا كانت Q غير حقيقية. نقول إذن أن Q شرط ضروري لصحة P.

عندما نستخدم التعبيرات "إذا كان P، فإن P"، "Q لذلك Q" أو حتى "P. وبالتالي Q"، نستخدم حقيقة أن $P \Rightarrow Q$، التي يجب أن تكون واضحة أو قد تم إثباتها مسبقًا. لا ينبغي استخدام هذه التعبيرات بخفة في البرهان: في الرياضيات، معناها دقيق للغاية.

المثال

عندما نقول "في منتصف الليل، أنام"، نعبر عن الصلة بين "P : إنه منتصف الليل" و"Q : أنا أنام". كونه منتصف الليل يعتبر شرطًا كافيًا لرؤيتي نائمًا وكوني أنام يعتبر شرطًا ضروريًا لأنه يكون منتصف الليل. على الجانب الآخر، لا نستبعد أن أنام في أوقات أخرى خلال اليوم بخلاف منتصف الليل. إذا قلنا بدورنا "عندما أنام، فإنه منتصف الليل"، يصبح ذلك $Q \Rightarrow P$، وهذا يعني أنني لا أنام في أي وقت آخر إلا منتصف الليل: في الساعة 11:59، لم أنم بعد وفي الساعة 12:01، أنا أستيقظ بالفعل. ومع ذلك، يمكن أن لا أنم أيضًا في منتصف الليل.

الشرط الضروري والكافي

عندما نمتلك ليس فقط $P \Rightarrow Q$ لكن أيضًا $Q \Rightarrow P$، فنقول أن P شرط ضروري وكاف لصحة Q (والعكس) أو بشكل أكثر شيوعًا، يكون P صحيح إذا وفقط إذا كانت Q صحيحة. نكتب ذلك $P \Leftrightarrow Q$ ونستخدم صيغ تحتوي على كلمات "متكافئ" مثل "P يكافئ Q".

في الواقع، للإثبات أن $P \Leftrightarrow Q$، نثبت على حدى $P \Rightarrow Q$ و $Q \Rightarrow P$.

التعريف من منظور المنطق

العبارة $P \Rightarrow Q$ هي عبارة مركبة تحتوي على مشترك منطقي $\Rightarrow$ وعلى اثنتين من العبارات الفرعية P و Q. يمكن أن تكون هذه البيانات الجديدة صحيحة أو خاطئة استنادًا إلى قيم P و Q. ومع ذلك، من الأصعب إعطاء جدول الحقيقة لـ $\Rightarrow$ مقارنة بذلك لـ $\lor$ أو $\land$. لفهمه بشكل جيد، يجب أن نتساءل "إذا رأيت حالة حقيقية لـ P و Q، ما الذي يمكنني استنتاجه من العبارة $P \Rightarrow Q$؟" إذا لم تتعارض قيم P و Q مع إمكانية أن تعني P Q، فسيكون القول بأن $P \Rightarrow Q$ صحيحًا في هذه الحالة.

بالتالي، إذا كانت P و Q حقيقيتين، فإن P يمكن أن يعني Q، وبالتالي يتم تحديد $P \Rightarrow Q$ كصحيح في هذه الحالة. إذا كانت P حقيقية ولكن Q خاطئة، فهذا بالضبط تناقض لحقيقة أن P يعني Q: يُعرّف $P \Rightarrow Q$ على أنه خاطئ.

الحالات التي يكون فيها P خاطئة أقل وضوحًا قليلاً. في الواقع، إذا كانت P خاطئة، فإن عبارة $P \Rightarrow Q$ ستكون صحيحة بغض النظر عن قيمة Q. في الواقع، نظرًا لأن P خاطئة، فلا يوجد تناقض مع فكرة أن P تعني Q (التي تقول ببساطة "إذا كانت P حقيقية، فإن Q حقيقية").

لفهم هذا الظاهرة بشكل جيد، يمكننا مشاهدة المثال "P: إنها تمطر" و "Q: أخذ مظلتي". إذا كان P و Q خاطئين في يوم من الأيام، أي أنه لا يمطر ولا أأخذ مظلتي، فإنني لا أتناقض مع مبدأي بأنني أخذ مظلتي في كل مرة يمطر فيها: $P \Rightarrow Q$ يكون صحيحًا. في الواقع، الطريقة الوحيدة التي تكون فيها $P \Rightarrow Q$ خاطئة هي عندما لا أأخذ مظلتي عندما تمطر: يجب أن تكون P حقيقية ولكن Q خاطئة.

لذا، لدينا الجدول الحقيقي التالي: $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P \Rightarrow Q & Q \Rightarrow P & P \Leftrightarrow Q\\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \hline \end{array}$$