العلاقات المفيدة

جميع العلاقات المذكورة في هذا القسم يمكن إثباتها بسهولة باستخدام جداول الحقيقة. لإظهار أن اثنتين من التعبيرات متكافئة (أي أنهما صحيحتان بالضبط في نفس الوقت)، يكفي بناء جدول الحقيقة لكل منهما والتحقق من تطابقهما. سيتم استخدام الرمز $\equiv$ للقول بأن تعبيرين متكافئين: يمكننا استخدام $\Leftrightarrow$ ولكن ذلك قد يربك القارئ لأن هذا الرمز قد يظهر أيضًا داخل هذه التعابير.

الارتباط والتبادل والعنصر المحايد

العمليات $\lor$ و $\land$ مرتبطة وقابلة للتبادل: $$\begin{align*} P \lor (Q \lor R) & \equiv (P \lor Q) \lor R, & P \lor Q & \equiv Q \lor P,\\ P \land (Q \land R) & \equiv (P \land Q) \land R, & P \land Q & \equiv Q \land P. \end{align*}$$ العنصر المحايد لـ $\lor$ هو 0 (العبارة الخاطئة دائمًا) ولـ $\land$ هو 1 (العبارة الصحيحة دائمًا): $$\begin{align*} 0 \lor P & \equiv P, & 1 \land P & \equiv P. \end{align*}$$ العدد 1 هو ماص لـ $\lor$ والعدد 0 هو ماص لـ $\land$: $$\begin{align*} 1 \lor P & \equiv 1, & 0 \land P & \equiv 0. \end{align*}$$ أيضًا، نظرًا لأن $P$ و $\lnot P$ تتمتعان دائمًا بقيم مُميزة (الأول يساوي 0 عندما يساوي الثاني 1)، فلدينا العلاقات: $$\begin{align*} P \lor \lnot P & \equiv 1, & P \land \lnot P & \equiv 0. \end{align*}$$

قوانين دي مورجان

قوانين دي مورجان تتيح لنا حساب النفي المنطقي للعبارات المركبة التي تحتوي على $\lor$ و $\land$: $$\begin{align*} \lnot (P \lor Q) & \equiv \lnot P \land \lnot Q,\\ \lnot (P \land Q) & \equiv \lnot P \lor \lnot Q. \end{align*}$$ على سبيل المثال، بالنسبة لـ "x : P هو عدد زوجي" و "x : Q قابل للقسمة على 3"، فإن عبارة $P \land Q$ هي "x هو مضاعف للعدد 6". يجب أن يكون نفيها صحيحًا لأي عدد ليس مضاعفًا للعدد 6، حتى لو كان زوجيًا. النفي المنطقي هو "x عدد فردي أو ليس قابلًا للقسمة على 3"، وهو بالضبط $\lnot P \lor \lnot Q$.

التوزيعية

يمكننا توزيع $\land$ في الفصل المنطقي و $\lor$ في الوصل المنطقي: $$\begin{align*} (P \lor Q) \land R & \equiv (P \land R) \lor (Q \land R),\\ (P \land Q) \lor R & \equiv (P \lor R) \land (Q \lor R). \end{align*}$$ نظرًا لأن $\land$ و $\lor$ قابلة للتبادل، فإن الصيغة تعمل أيضًا إذا كانت R على الجانب الأيسر.

العكس النقيض

العكس النقيض هو القانون الذي يقول: $$(P \Rightarrow Q) \equiv (\lnot Q \Rightarrow \lnot P).$$ هذا مفيد في سياق البرهان. في الواقع، إذا بدت $P \Rightarrow Q$ صعبة جدًا للإثبات مباشرة، يمكننا بدلاً من ذلك محاولة افتراض $\lnot Q$ وإثبات أننا نحصل على $\lnot P$ بعدها. على سبيل المثال، قول "إذا كنت أنام، فلن أتحرك" يعني بالضبط "إذا كنت أتحرك، فذلك يعني أنني لست نائمًا".